თავსატეხი

37. ოთხი სხარტი ამოცანა

37.1

მჭედელს მიუტანეს 5 ჯაჭვი, ხუთივე მათგანი სამ–სამი რგოლისგან შედგებოდა. მჭედელს მათგან ერთი დიდი ჯაჭვი უნდა გაეკეთებინა. მჭედელმა იფიქრა, რომ ყველა ჯაჭვის გასაერთიანებლად ოთხი რგოლის გახსნა და შეკვრა მოუწევდა.

არის თუ არა შესაძლებელია უფრო ნაკლები რაოდენობის რგოლების გახსნითა და შეკვრით ჯაჭვების გაერთიანება?

37.2

თვითმფრინავი A პუნქტიდან B პუნქტამდე მისვლას 1 საათსა და 20 წუთს ანდომებს. უკანა გზას კი 80 წუთს.

როგორ ახსნით ამ მოვლენას?

37.3

მამამ საკუთარ შვილს 150 ლრი მისცა. მეორე მამამ თავისას კი – 100. თუმცა შვილებმა ჯამში 150 ლარი მიიღეს.

როგორ?

37.4

გვაქვს შაშის ცარიელი დაფა. მასზე უნდა დავდოთ სხვადასხვა ფერის ორი შაშის ქვა. რამდენი განსხვავებული კომბინაციით შეიძლება მათი დაფის უჯრებზე განთავსება?

პასუხები:

37.1

მჭედელმა უნდა დაშალოს პირველი ჯაჭვი – შესაბამისად მიიღებს სამ გახსნილ რგოლ. დაგვრჩება 4 ჯაჭვი, რომლებიც სამი გახსნილი რგოლებით უნდა გადააერთოს

37.2

ეს მოვლენა აიხსნება იმით რომ 1 საათი და 20 წუთი უდრის 80 წუთს

ანუ განსაკუთრებული არაფერი.

37.3

საქმე გვაქვს არა ოთხ, არამედ სამ პიროვნებასთან – ბაბუა, მამა და შვილიშვილი.

ბაბუამ მამას მისცა 150 ლარი, მამამ კი ამ 150 ლარიდან შვილს მისცა – 100. 

37.4

შაშის დაფას აქვს 64 უჯრა, შესაბამისად პირველი ქვის დადებისას გვაქვს დაფაზე მისი განთავსების 64 ვარიანტი.

მეორე ქვის დადებისას ერთი უჯრა უკვე დაკავებულია, შესაბამისად გვრძება 63 ვარიანტი.

შესაძლო კომბინაციების საერთო რაოდენობა უდრის 64×63=4032

ივნისი 13, 2011 at 3:22 PM 8 comments

36. მუშები

ქარხანაში მუშაობს ორი მუშა – ახალგაზრდა და მოხუცი. თუმცა ისინი ერთად ცხოვრობენ. ახალგაზრდას სახლიდან ქარხანაში მისასვლელად 20 წუთი სჭირდება, მოხუცს კი – 30. მოხუცი სახლიდან 5 წუთით ადრე გადის.

რამდენ წუთში ეწევა მას ახალგაზრდა?

პასუხი:  10 წუთში.

ახალგაზრდა 5 წუთში გადის ქარხანამდე მანძილის 1/4–ს, როდესაც მოხუცი გადის 1/6–ს.

შესაბამისად ახალგაზრდა 5 წუთში გადის მოხუცზე 1/12–ით (1/4 – 1/6 = 1/12) მეტ მანძილს.

5 წუთის შემდეგ მოხუცს ექნება გზის 1/6 გავლილი.

ახალგაზრდას დასჭირდება 2 (1/6 : 1/12 = 2) ხუთწუთეული მოხუცის დასაწევად.

არსებობს ამოხსნის მეორე ხერხიც: მოხუცი მთლიანი გზის გავლას 10 წუთით მეტ დროს ანდომებს. თუ მოხუცი, სახლიდან 10 წუთით ადრე გამოვა, მაშინ ისინი ერთდროულად მივლენ ქარხანაში. მაგრამ მოხუცი გამოდის 5 წუთით ადრე, რაც ნიშნავს იმას, რომ ახალგაზრდა მას უნდა დაეწიოს ზუსტად გზის ნახევარში ანუ 10 წუთში (რადგანაც ახალგაზრდა მთელი გზის გავლას ანდომებს 20 წუთს, ნახევარ გზას გაივლის 10 წუთში)

ივნისი 13, 2011 at 9:25 AM 2 comments

35. მოთხილამურე

მოთხილამურემ გამოთვალა, რომ თუ 10 კმ/სთ–ის სისწრაფით ისრიალებს, დანიშნულების ადგილზე 13:00 საათზე ჩავა. მაგრამ თუ 15 კმ/სთ–ს განავითარებს, სასურველ ადგილას უკვე 11:00 საათზე იქნება.

რა სისწრაფით უნდა ისრიალოს მან, თუ სურს, რომ დანიშნულების ადგილზე ზუსტად შუადღეს (12:00) საათზე მივიდეს?

პასუხი: 12 კმ/სთ

ჩავთვალოთ, რომ 15 კმ/სთ–ით მოძრაობისას მოთხილამურეს ორი საათით მეტი აქვს გასავლელი, ვიდრე რეალურად (ანუ სჭირდება იმდენი დრო, რამდენიც რეალურადაა საჭირო 10 კმ/სთ–ით მოძრაობისას). ამ შემთხვევაში მოთხილამურეს 30 კმ–ით მეტი მანძილის გავლა მოუწევს (ორი საათის განმავლობაში 15 კმ/სთ–ით მოძრაობა = 30 კმ). 

ერთი საათის განმავლობაში ის გადის 5 კმ–ით მეტს, ვიდრე 10 კმ/სთ–ით მოძრაობის დროს. გამოდის, რომ ის გზაში იმყოფება 30:5=6 საათის განმავლობაში. აქედან ვიგებთ, 15 კმ/სთ–იანი სრიალის ხანგრძლივობას 6–2=4 საათი.

ამავე დროს ცნობილი ხდება გასავლელი მანძილი 15×4=60 კმ.

რადგანაც ვიცით გასავლელი მანძილი, ადვილია გამოვთვალოთ მისი სიჩქარე დანიშნულების ადგილზე ზუსტად 12:00 საათზე მისასვლელად  60:5=12 კმ/სთ.

ივნისი 13, 2011 at 9:13 AM 5 comments

34. კბილანები

გვაქვს ორი კბილანა. პირველს 8 კბილი აქვს და მოჭდობილია 24–კბილიან კბილანაზე. დიდი კბილანის ტრიალისას პატარა მას წრეს უვლის.

შეკითხვა: რამდენჯერ მოასწრებს პატარა კბილანა საკუთარი ღერძის გარშემო შემობრუნებას, სანამ ის ერთ წრეს დიდ კბილანას.

პასუხი: სანამ დიდ კბილანას წრეს უვლის, პატარა კბილანა საკუთარ ღერძზე მოტრიალდება 4–ჯერ.

აიღეთ ორი 20–თეთრიანი და მიტყუპებულად დადეთ ერთმანეთის გვერდზე. მარცხენა მონეტას თითი დააჭირეთ (რომ არ იმოძრაოს), მარჯვენა კი ბორბალივით აბრუნეთ მის გარშემო. ნახავთ, რომ მონეტა, სანამ თავის ადგილს დაუბრუნდება (ანუ ერთ წრეს მოუვლის მეორე მონეტას), საკუთარი ღერძის გარშემო ორჯერ შემობრუნდება. 

საკუთარი ღერძის გარშემო ბრუნვადი სხეული, რომელიც ამავე დროს სხვა სხეულსაც უვლის წრეს, აკეთებს ერთით მეტ ბრუნს, ვიდრე “საჭიროა”. სწორედ ამიტომ პატარა კბილანა არა 3 (24:8=3), არამედ 4 ბრუნს აკეთებს საკუთარი ღერძის გარშემო.

დედამიწა, რომელიც საკუთარი ღერძის გარშემოც ბრუნავს და მზესაც უვლის წრეს, ასწრებს საკუთარი ღერძის გარშემო 366,25–ჯერ შემობრუნდეს (და არა 365.25–ჯერ) – თუ დავთვლით არა მზესთან, არამედ ვარსკვლავებთან მიმართებაში. სწორედ ამიტომ ვარსკვლავთმიერი დღე არის უფრო მოკლე, ვიდრე მზის მიმართ ათვლილი.

ივნისი 13, 2011 at 9:01 AM 2 comments

33. მანიპულირება ციფრებით

33.1

შეიძლება თუ არა 1,000–ის გამოსახვა რვა ერთიდაიგივე ციფრით?

შეგიძლიათ გამოიყენოთ მათემატიკური ნიშნები.

33.2

რიცხვ 24–ის გამოსახვა ადვილად შეიძლება: 8+8+8.

თუმცა სხვა გზებიც არსებობს.

მოიფიქრეთ რამე?

33.3

5 x 5 + 5 არის 30.

მიიღეთ ოცდაათი სამი ერთიდაიგივე ციფრის გამოყენებით.

ამონაცას რამდენიმე ამონახსნი აქვს.

პასუხი: 

33.1  

ერთი–ერთი ამონახსნი ასეთია: 888+88+8+8+8 (=1000).

ამოცანის ამოხსნა სხვა ციფრებითაც შეიძლება

33.2

22+2  ან  3³–3

არსებობს სხვა ამონახსნებიც.

33.3

6 x 6 – 6 

3³+3

33-3

ივნისი 13, 2011 at 12:40 AM 6 comments

32. ხელთათმანები

ნინოს ძალიან უყვარდა ხელთათმანები. მას ჰქონდა 6 წყვილი წითელი და 6 წყვილი მწვანე ხელთათმანები, რომლებიც ყუთში ეწყო, უფრო სწორედ კი უწესრიგოდ ეყარა. ნინო სახლიდან გასვლის წინ ყოველთვის ატარებდა ექსპერიმენტს – თითო–თითოდ იღებდა ხელთათმანებს ყუთიდან. აინტერესებდა რამდენი ცდის შემდეგ ექნებოდა ხელთ წყვილი ხელთათმანი.

მოიფიქრეთ, მინიმუმ რამდენი ხელთათმანი უნდა ამოიღოს ნინომ ყუთიდან, რომ დარწმუნებული იყოს 1 წყვილი ხელთათმანი მაქნც აქვს ხელთ (ფერს არ აქვს მნივნელობა, რომელიმე წყვილი, ან წითელი ან მწვანე).

პასუხი: 13თავიდან ნინომ შეიძლება ამოიღოს 6 წითელი ხელთათმანი – მარჯვენა ხელისთვის. შემდეგ 6 მწვანე – მარცხენა ხელისთვის. ნებისმიერი მომდევნო ხელთათმანი შექმნის წყვილს

თებერვალი 25, 2011 at 6:31 PM 6 comments

31. ჭიქებისა და ლამბაქების კომბინაცია

მაღაზიაში იყიდება 6 სახის ჭიქა და 4 სახის ლამბაქი. მაღაზიაში შემთხვევით შესულმა ყავის მოყვარულმა ადამიანმა გადაწყვიტა შეეძინა ერთი ჭიქისა და ერთი ლამბაქის ყველა შესაძლო კომბინაცია.

სულ რამდენი კომბინაციის ყიდვა დასჭირდებოდა მას?

პასუხი: 24

ამ შემთხვევაში ყოველი ჭიქისათვის არსებობს ოთხი კომბინაცია: მოცემული ჭიქა და 4 სხვადასხვა ლამბაქი.

შესაბამისად 6 ჭიქისათვის იარსებებს 24 კომბინაცია

თებერვალი 25, 2011 at 6:18 PM 2 comments

30. ქალაქში მოხვედრა

ერთ–ერთ ქალაქში უცნაური წესები შემოიღეს – აკრძალეს ქალაქში შესვლა. შესასვლელში დააყენეს დარაჯები, რომლებიც ქალაქში შესვლის ყოველ მსურველს ეკითხებოდნენ, თუ რატომ უნდოდა იქ მოხვედრა. სიმართლის შემთხვევაში მდინარეში ახრჩობდნენ, ტყუილის შემთხვევაში კი ქალაქის მთავარ მოედანზე ჩამოახრჩობდნენ ხოლმე.

საბოლოო ჯამში ერთმა ჭკვიანმა ადამიანმა მაინც მოახერხა ქალაქში მოხვედრა. რა უპასუხა მან დარაჯებს?

პასუხი: “მე მოვედი, რომ ჩამომახრჩოთ”.

თუ დარაჯები ამ პასუხს ჩათვლიდნენ სიმართლედ, მაშინ მდინარეში უნდა დაეხრჩოთ ეს ადამიანი, რაც თავისთავად გამორიცხავდა ფრაზის ჭეშმარიტებას (იმიტომ, რომ გამოდიოდა მდინარეში დამხრჩავალად).

თუ დარაჯები ამ ფრაზას ჩათვლიდნენ ტყუილად, მაშინ უნდა ჩამოეხრჩოთ ქალაქის მთავარ მოედანზე, რაც ავტომატურად ფრაზას ჭეშმარიტს ხდიდა.

თებერვალი 25, 2011 at 6:12 PM 3 comments

29. რობინსონის ასაკი

ერთხელ კრეკჰემი რობინსონს მის ასაკს შეეკითხა.

რობინსონს არ ახსოვდა რამდენი წლის იყო, მაგამ გაიხსენა შემდეგი: მისი ძმა მასზე 4 წლით უფროსია, და კი მის ძმაზე – 4 წლით უფროსი. დედამ რობინსონი 20 წლის ასაკში გააჩინა, ხოლო ოთხივეს საშუალო ასაკი არის 39 წელი.

რამდენი წლისაა რობინსონი?

პასუხი: რობინსონი არის 31 წლის

რობინსონის ასაკი აღვნიშნოთ x-ით. მივიღებთ შემდეგ განტოლებას:  x+(x+4)+(x+4)+(x+20)/4=39

ივლისი 6, 2010 at 12:39 PM 20 comments

28. თამაშების რაოდენობა შეჯიბრში

ამოცანა აღებულია ჟურნალ ჟუნიორის ოქტომბრის ნომრიდან

შეჯიბრში მონაწილეობას იღებს 1000 ადამიანი. პირველ ტურში მონაწილეებს ყოფენ ოთხკაციან ჯგუფებად და თითოეული ჯგუფი ცალ–ცალკე თამაშობს (თითო ჯგუფში ოთხივე მონაწილე ერთმანეთს ერთდროულად ეთამაშება, ანუ ჯგუფში სულ 1 თამაში ტარდება). ყოველი თამაშის შემდეგ ოთხკაციანი ჯგუფიდან მომდევნო ტურში გადადის საუკეთესო შედეგის მქონე ერთი მონაწილე. იგივე პრინციპით ლაგდებიან მოთამაშეები ამ და ყველა მომდევნო ტურში. თუკი რომელიმე ეტაპზე მონაწილეების რაოდენობა არ იყოფა ოთხზე, მაშინ მოთამაშეები ლაგდებიან ოთხკაციან ჯგუფებშ და “ზედმეტი” მოთამაშეები პირდაპირ გადადიან შემდეგ ტურში (მაგალითად, 21 მონაწილის შემთხვევაში 20 მოთამაშე გადანაწილდება ხუთ ჯგუფში, ოცდამეერთე კი პირდაპირ გადავა შემდეგ ტურში). ჯგუფებში განაწილებისას მოქმედებს შემთხვევითობის პრინციპი.

საბოლოო ჯამში გამარჯვებული უნდა გახდეს მხოლოდ ერთი მონაწილე.

სულ რამდენი თამაში უნდა ჩატარდეს შეჯიბრებაში გამარჯვებულის გამოსავლენად?

პასუხი: ყოველი თამაშის შემდეგ თითო ოთხკაციანი ჯგუფიდან სამი წაგებულია. შესაბამისად, თამაშის ბოლოს არის 999 წაგებული. აქედან თამაშების რაოდენობა იქნება 999:3=333.

პასუხის მისაღებად  შეგვიძლია პირდაპირ დავთვალოთ თამაშების რაოდენობა: პირველ ტურში შედგა 250 თამაში (1000:4=250), მეორე ტურში 62 ( 248:4=62;მ მათ დაემატება იღბლიანი ორი მონაწილე, რომელთაც არ მოუწიათ ამ ეტაპზე თამაში და პირდაპირ გადავიდნენ მომდევნო ეტაპზე).

64:4=16

16:4=4

4:4=1

250+62+16+4+1=333

მაისი 24, 2010 at 9:44 AM 4 comments